线性代数总结

2020-07-11 10:33:04 浏览次数：

　关于秩的一些定义、定理、命题 一、向量组的秩 定义：向量组{α 1 ,α 2 ⋯α s }中存在 r 个线性无关的向量，且其中任一个向量可由这 r 个线性无关的向量线性表示，则数 r 称为向量组的秩。

　等价定义：若向量组中存在 r 个线性无关的向量，且任何 r+1 个向量都线性相关，则称数 r 为向量组的秩。

　关于向量组的秩的定理 1设秩{α 1 ,α 2 ⋯α s }=p，秩{β 1 ,β 2 ⋯β t }=r，若向量组可由向量组线性表示，则 r≤p。（秩大可表示秩小）

　2、 若两个向量组等价，则它们的秩相等。

　二、关于矩阵的秩的基本结论：

　（1矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩=矩阵的非零子式的最高阶数； （2）

　初等变换不改变矩阵的秩。

　关于矩阵的秩的定理、命题 1n 阶矩阵 A 的秩等于 n 的充要条件是|A|≠0。

　2 m×n x=0 有非零解的充要条件是 r（A）<n；只有零解的条件是 r（A）=A 的列数，A 为 n 阶方阵时⟺|A|≠0; 3、 A m×n ，r（A）<n，则 Ax=0 存在基础解系，且其含有 n-r（A）个解向量。解齐次方程组时，自由变量的个数为 n-r（A）个，找出一个秩为 r（A）的矩阵，其余的 n-r（A）个列对应的就是自由变量，每次给一个自由变量赋值为 1，其余自由变量赋值为零，共需赋值 n-次。解非齐次方程组时，令全部自由未知量为零即可得到一个特解。

　4、 设 A、B 均是 n 阶矩阵，且 r（A）+ r（B）<n，则 A、B 有公共的特征向量。

　推广：设 A、B 均是 n 阶矩阵，则 A、B 有公共特征向量的充要条件是存在 λ，μ ∈R，使 r[ λAμE − B ] <